数学的大一统构想-“朗兰兹纲领”

2020-01-06 0 1,939

大家都听说过物理中有大一统的构想,那么数学中有没有类似的理论呢?答案是肯定的,这就是我们今天所介绍的朗兰兹纲领

数学的大一统构想-“朗兰兹纲领”

现代数学中有三个非常重要的分支学科,分别是代数几何、数论和群表示论,从各自的发展历史来看,它们的相互依赖性不是很强,也就是说,这三个学科相对独立。但数学的发展总是走向综合和融汇,于是在1967年,当时还非常年轻加拿大数学家朗兰兹产生了三个学科可以统一在一起的大胆猜想。经过一番思考后,他写信给当时最伟大数学家之一的韦伊,阐述了自己这个有些疯狂的构想。但这正如脱缰野马一样,一发便不可收拾,这一系列构想后来就组成了著名的“朗兰兹纲领”,它促成了数学中一系列的重大成就,数学家也因此可以用更加深刻的观点来审视过去那些已经取得的成果,包括非常著名的“费马大定理”

数学的大一统构想-“朗兰兹纲领”朗兰兹

朗兰兹的灵感最早来自于数论中著名的“二次互反律”,“二次互反律”最早由欧拉和勒让德提出,而后伟大的高斯给出了第一个严格的证明。在经典数论里,二次互反律拥有绝对牢固的地位,被称为“数论酵母”,它从实质上上解决了二次剩余的判别问题,但这个定律只适用于二次的情形。朗兰兹的高明之处在于,他发现了高于二次的方程和互反律也存在着一些联系,进而多项式方程的素数值与分析和几何学中所关注的微分方程的谱奇妙地联系到了一起,朗兰兹在仔细地思考后,认为这两者之间应该存在互反关系。

数学的大一统构想-“朗兰兹纲领”

朗兰兹纲领如此受重视的一个原因在于,它将代数几何包含在内,而代数几何则是现代数学中“主流中的主流”,数学最高奖菲尔兹奖所有得主中近三分之一是因为代数几何中的成就而获奖,由此可以看出代数几何到底是有多重要!在整个二十世纪的数学中,诞生了许多重量级数学大师,而其中许多都和代数几何有深刻的关联,例如格罗滕迪克、韦伊,塞尔和德利涅等等。

数学的大一统构想-“朗兰兹纲领”格罗滕迪克所著《代数几何学原理》

而群表示论可能大家会有些陌生。群是满足一定关系和带有一些规定运算的集合,例如全体实数在加法运算下就构成一个加法群,所有模长为1的复数(可以理解为单位圆周上的点)在乘法下构成乘法群。但群的结构本身可以变得极其复杂,于是根据数学中“化繁为简”的基本思想,我们将一般的群对应到更为简单的“线性群”中,进而可以通过研究这种对应来分析群的结构,这极大地降低了直接研究的难度。而在这些群中,数学家们尤其关注“李群”,李群不仅拥有群结构,更一般地,它还被赋予微分结构,成为一个微分流形,进而李群表示论还与调和分析产生了深刻的联系。这样一来,代数,几何和分析这三大数学分支就奇妙地产生了关联。

数学的大一统构想-“朗兰兹纲领”

那么,这三大分支之间是怎样被联系起来的呢?朗兰兹认为是一些特殊的函数将它们紧密联系在了一起,这种函数被称为“L函数”,L函数的一些特性往往可以反应出研究对象的几何,代数或分析性质。例如非常著名的“黎曼ζ函数”就是一个L函数,它的零点分布情况可以给出许多重要的性质,因此关于它零点分布的“黎曼猜想”就显得非常重要,这个猜想可以说是现代数学最重要的一个未解之谜,由它的正确性可以立即推导出很多重要结论,例如素数定理,尽管素数定理已经得证,但这个过程是十分艰辛的。

数学的大一统构想-“朗兰兹纲领”

也就是说,如果黎曼猜想可以被证明,那么朗兰兹纲领的地位无疑将“更上一层楼”。在“千禧年七大数学问题”中,除去黎曼猜想外,还有BSD猜想与朗兰兹纲领关系密切,这个猜想的一部分是:

给定一个整体域上的阿贝尔簇,那么它的莫代尔群的秩等于它的L函数在1处的零点阶数。

BSD猜想近些年来有一些突破,例如来自中科院数学所的数学家田野证明了其中一种特殊情况,使得这个问题有了实质性的进展。

费马大定理我们听得比较多的一个数学问题,这是一个历史超过三百年的巨大难题,不过比较幸运的是,它在上世纪末被英国数学家怀尔斯所解决。实际上怀尔斯是通过证明更为一般的谷山—志村猜想进而得到费马大定理的,这个猜想架起了沟通椭圆曲线模形式的桥梁,而椭圆曲线是具有众多代数和几何性质的数学对象,而模形式则来源于分析中的周期函数。如此看来,费马大定理又是朗兰兹纲领成立的一大强有力佐证,因为它真正地把不同的数学内容联系到了一起,完美体现了朗兰兹纲领的思想。

数学的大一统构想-“朗兰兹纲领”怀尔斯与费马大定理

朗兰兹本人在非交换调和分析、自守形式理论和数论的跨学科领域内进行了深入研究,进而把它们统一在一起的“朗兰兹纲领”,并首先证明了一些特殊情形。由于朗兰兹在此领域内的卓越贡献,他荣获了“数学三大奖”的其中两个,分别是1996年的沃尔夫数学奖和2018年的阿贝尔奖。

数学的大一统构想-“朗兰兹纲领”2018 年阿贝尔奖授予朗兰兹

而近些年来在朗兰兹纲领上最杰出的人物可能是越南裔法国籍数学家吴宝珠,他前前后后大约耗费10年光阴,历经千难万险,最终证明了朗兰兹纲领自守形式的一个基本引理,而这个引理是朗兰兹纲领最终成立的一个基本前提,因而尤其重要。但即使是这样一个引理,证明起来也非常艰难,就连朗兰兹本人也无能为力,只能放弃。但所幸吴宝珠坚持了下来,迈出了关键性的一大步,凭借这样的巨大突破,吴宝珠也荣获2010年菲尔兹奖。值得一提的是,吴宝珠还在越南读高中的时候就两度拿到国际中学生数学奥林匹克竞赛的金牌,而与他同届获得金牌的还有更加出名的陶哲轩,陶哲轩于2006年获得菲尔兹奖。不过非常可惜的是,在中国众多的金牌得主中至今还从未诞生过具备获得菲尔兹奖实力的数学家。

数学的大一统构想-“朗兰兹纲领”吴宝珠

朗兰兹纲领已经成为数学中一块极其肥沃的土地,代数、几何和分析的思想和方法在其中产生了神奇的反应,让我们惊喜地看到了它们之间的共性和联系。但时至今日,朗兰兹纲领也只是一个伟大的“构想”而已,但它已经为今后的数学发展指明了一种方向,或许沿着这个方向,我们将窥探到数学中更为高深的奥秘。

数学的大一统构想-“朗兰兹纲领”
转自头条号:数学扫地僧。原标题:数学也有大一统构想?没错,这就是“朗兰兹纲领”
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